Отношения между математическими понятиями

Не следует путать с Диаграмма Эйлера — Венна.

Пример кругов Эйлера. Буквами обозначены, например, свойства: B {\displaystyle B} B — живое существо, A {\displaystyle A} A — человек, C {\displaystyle C} C — неживая вещь

Диагра́ммы Э́йлера (круги́ Э́йлера) — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Первое их использование приписывают Леонарду Эйлеру (подробней см. ниже). Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях. Не следует их путать с диаграммами Эйлера — Венна (о различии между ними см. ниже).

Диаграммы Эйлера также называют кругами Эйлера. При этом «круги» — это условный термин, вместо кругов могут быть любые фигуры.

На диаграммах Эйлера множества изображаются кругами (или другими фигурами). Причём непересекающиеся множества изображены непересекающимися кругами, а подмножества изображены вложенными кругами. Например, диаграмма на рисунке показывает, что множество A является подмножеством B, а B не пересекается с C.

Содержание

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако этим методом ещё до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. Лейбниц использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но при этом всё же предпочитал использовать линейные схемы.[1]

Но достаточно основательно развил этот метод сам Л. Эйлер. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шрёдер в книге «Алгебра логики». Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна, подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Который предложил свою схему изображения отношения между множествами, которая теперь называется диаграммами Эйлера — Венна. Первоначально круги Эйлера возникли на основе идей силлогистики Аристотеля. Диаграммы Венна были созданы для решения задач математической логики. Их основная идея разложения на конституенты возникла на основе алгебры логики[2].

Пример получения произвольных кругов Эйлера из диаграмм Венна с пустыми (чёрными) множествами 22 (из 256) существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу)

Диаграммы Эйлера — Венна в отличие от диаграмм Эйлера изображают все 2 n {\displaystyle 2^{n}} 2^{n} комбинаций n {\displaystyle n} n свойств, то есть конечную булеву алгебру. При n = 3 {\displaystyle n=3} n=3 диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

На рис. ниже даны диаграммы Венна и Эйлера для 3 множеств однозначных натуральных чисел:

  • A = { 1, 2, 5 } {\displaystyle A=\{1,\,2,\,5\}} {\displaystyle A=\{1,\,2,\,5\}}
  • B = { 1, 6 } {\displaystyle B=\{1,\,6\}} {\displaystyle B=\{1,\,6\}}
  • C = { 4, 7 } {\displaystyle C=\{4,\,7\}} {\displaystyle C=\{4,\,7\}}
отношения
  • диаграмма Эйлера

  • диаграмма Венна

Иногда, если какая-то комбинация свойств соответствует пустому множеству, то эту комбинацию закрашивают. На рисунке справа даны 22 существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу). Некоторые из диаграмм Эйлера не типичны, а некоторые даже эквивалентны диаграммам Венна. Черные области указывают на то, что в них нет элементов (пустые множества).

На рисунке внизу дана Диаграмма Эйлера, иллюстрирующая тот факт, что множество существ с 4 конечностями («four legs») является подмножеством животных («animals»), которое не пересекается с множеством минералов («minerals»).

Диаграмма Эйлера
  1. Leibniz G. W. Opuscules et fragments inédits de Leibniz. — Paris, 1903. — p. 293—321.
  2. Кузичев, 1968, с. 25.
  • Кузичев А. С. Диаграммы Венна. История и применения. — М.: Наука, 1968. — 249 с.

Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D1%83%D0%B3%D0%B8_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0


Рекомендуем посмотреть ещё:


Закрыть ... [X]

ЛЕКЦИЯ 7 Отношения между понятиями / Принт для спортивной одежды

Отношения между математическими понятиями 3. Отношения между понятиями
Отношения между математическими понятиями Диаграмма Эйлера Википедия
Отношения между математическими понятиями Математические понятия
Отношения между математическими понятиями Математика Википедия
Отношения между математическими понятиями 15 лучших мест для татуировок у девушек Александр Дадак
4. Зеленая Аптека Освежающая пенка для умывания чувствительной кожи Беденко, Савельев: Блицконтроль скорости чтения и Знак зодиака Лев (совместимость) Как изменить выражение лица : - территория женских разговоров Как сделать оригинальные пригласительные открытки на свадьбу своими